دانلود پایان نامه ارشد درمورد جابه جایی و جایگزینی

دانلود پایان نامه

2-5.نوسانگر هارمونیک مکانیک کوانتومی
برای هامیلتونی کوانتومی نوسانگر هارمونیک یک بعدی با جرم واحد داریم:
(2-29) به طوری که و از رابطه جابه جایی تبعیت می نمایند. سپس عملگرهای و به منظور جایگزینی با و به صورت زیر تعریف می شوند:
(2-30) (2-31) عملگرهای و به ترتیب عملگرهای خلق و فنای نوسانگر هارمونیک نامیده می شوند.
بنابراین با استفاده از روابط (2-30) و (2-31) می توان جابه جاگر زیر را محاسبه کرد:
(2-32) همچنین هامیلتونی به صورت زیر بیان می شود:
(2-33) عملگر تعداد نامیده می شود. در صورتی که ویژه حالت انرژی نوسانگر هارمونیک با ویژه مقدار باشد، معادله ویژه مقداری آن خواهد شد:
(2-34) نشان داده می شود که:
(2-35) حالت خلا حالت پایه متناظر کمترین انرژی را دارد. حالت در رابطه صدق می کند.
، ویژه حالت هم زمان و تعریف می شود:
(2-36) می شود نشان داد که:
(2-37) (2-38) 2-6.کوانتش میدان
اکنون می توان با مرتبط ساختن یک نوسانگر هارمونیک کوانتومی با هر مد k از میدان تابشی، میدان الکترومغناطیسی را کوانتیده نمود. مد هر عملگر کوانتومی به صورت زیرنویس نمایش داده می شود، بنابراین و عملگرهای خلق و فنای مد میدان الکترومغناطیسی کاواک با بردار موج را نشان می دهند. تعداد فوتون های با بردار موج برانگیخته شده در کاواک توسط ویژه مقدار مربوط به عملگر تعداد مشخص می شود که دارای مقادیر ممکن … ،2،1،0 می باشد. حالت میدان با نمایش داده می شود.
حالت میدان تابشی کل در کاواک توسط تعداد فوتون های برانگیخته شده از مجموعه مدهای کاواک مشخص می شود. همچنین باید توجه داشت در شمارش مد، برای هر بردار موج دو راستای مستقل قطبش وجود دارد.
لازم است در اینجا قطبش دقیق تر بررسی شود. در صورتی که  و  مختصات قطبی بردار موج باشند، آنگاه مولفه های دکارتی آن خواهد شد:
(2-39) سپس با انتخاب مناسب بردارهای قطبش عرضی خواهیم داشت:
(2-40) (2-41) ) (cos cos cos sin sin)
به راحتی می توان نشان داد:
(2-42) در آینده از این اتحاد بهره خواهیم برد.
بطور خلاصه حالت میدان را می توان به صورت حاصلضرب حالت تک تک مدها بیان نمود:
(2-43) در برخی موارد می توان رابطه (2-43) را مختصرنویسی نمود به گونه ای که
(2-44) پتانسیل های برداری کلاسیک و برای کاواکی در مد k طبق روابط (2-26) و (2-27) بر حسب و بیان می شوند را می توان در اینجا تبدیل به عملگرهای کوانتومی بر حسب و نمود. پس خواهیم داشت:
(2-45)
(2-46)
در گام آخر این معادلات از روابط (2-30) و (2-31) استفاده شده است.
بنابراین در تبدیل الکترودینامیک کلاسیک به الکترودینامیک کوانتومی، عملگرهای خلق و فنا و (صرفنظر از یک ضریب) جایگزین ضرایب فوریه کلاسیکی و می شوند. عملگر پتانسیل برداری با جایگذاری روابط (2-45) و (2-46) در رابطه (2-21) خواهد شد:
این نوشته در علمی ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.